Когда логика не в состоянии осмыслить мир, шумный с несоответствием, параконсиентная логика выдерживает (не)возможные решения

Вот дилемма, которую вы можете найти знакомой. С одной стороны, хорошо прожитая жизнь требует безопасности, безопасности и регулярности. Это может означать семью, партнера, постоянную работу. С другой стороны, хорошо прожитая жизнь требует нового опыта, риска и подлинной независимости, способными несовместимыми с семьей, партнером или работой.

Изо дня в день может показаться, что не просто сложно уравновесить эти требования, но и совершенно невозможно. Это потому, что, по нашему мнению, требования хорошей жизни не просто сложны, а иногда и требования хорошей жизни противоречат друг другу. «Человеческий опыт, — писал писатель Джордж Элиот в 1876 году, — обычно парадоксальна».

Одна из целей философии — помочь нам разобраться в нашей жизни, и один из способов, с помощью которых философия пыталась помочь в этом отношении, — это логика. Формальная логика, возможно, является чрезмерно буквальным подходом, где «описание смысла» обналичивается в суровом математической символике.

Но иногда наша жизнь не имеет смысла, даже когда мы очень тщательно и тщательно думаем о них. где логика тогда? А если, иногда мир действительно бессмысленен? Что делать, если есть проблемы, которые просто невозможно решить? Формальная логика, какой мы ее знаем сегодня, выросла из проекта во время эпохи Просвещения 17-го века: рационалистический план осмыслить мир в математических терминах.

Основополагающее предположение этого плана состоит в том, что мир действительно имеет смысл и может быть осмыслен: есть понятные причины для вещей, и наша способность рассуждать обнаружит их нам. В своей книге «Геометри» Рене Декарт предполагал, что мир может быть покрыт тонкой сеткой, такой точной, что сводит геометрию к анализу; в «Этике» (1677) Барух Спиноз предложил взгляд на природу и наше место в ней настолько точным, что в 1679 году он предлагал вскрытие, и в ряде эссе, написанных в 1679 году, В.

Лейбница предлагал формальный язык, способный выразить все возможные мысли, в структуре — предоставляющий их.

Рационализм мечтает огромные.

Но мечты дешевы.

Поразительное в этом эпизоде то, что к началу 20-го века стремления Лейбница, казалось, были близки к исполнению из-за гальванических достижений в науках, настолько, что влиятельный математик Дэвид Гильберт предложил что-то правдоподобное, когда в 1930 году он сделал рационалистическое предположение кредо: «Мы должны знать, мы будем знать».

Кредо Гильберта было частично основано на впечатляющих успехах логистов конца 19 века, сводя к костям чистой математики (геометрия, теория множеств, арифметический, реальный анализ), чтобы найти абсолютную достоверность дедуктивной достоверности.

Если сама логика может быть понята в точных терминах, то проект разработки полной и последовательной теории мира (или, по крайней мере, математической основы) оказался в достижении — способ ответить на все вопросы, как выразился Гильберт, «в честь самого человеческого понимания».

Но даже когда Гильберт выписывал свое кредо и разрабатывал свои планы по решению проблемы энтчедунгс — построения того, что мы теперь бы назвали компьютером, который может механически решать правду или ложь любого предложения — все было не так.

Действительно, все было не так давно.

Это была ерунда.

В нескольких коротких строках было показано, что работа Фреге о провале уже в 1902 году, когда завершила свою жизнь, логик Готтлоб Фреге получил зловеще письмо от Бертрана Рассела.

Фреге работал над созданием основы для математики чистой логики — свести сложные вопросы об арифметике и реальном анализе к основному вопросу о формальной, логической валидности.

Если бы эта программа, известная как логика, была успешной, то кажущаяся достоверность логического дедукции, неизбежная истина выводов звуковых выводов, так сказать, проникла бы, так сказать, во всю математику (и любую другую область, сводимую к математике).

В 1889 году Фреге разработал оригинальную «концептуальную нотацию» для количественной логики именно для этой цели и использовал ее для своих основных законов арифметики (два тома внушительной символики, опубликованные в 1893 и 1903 г.).

Рассел разделил эту логистическую цель, и в своем письме Фреге Рассел сказал, по сути, что ему очень понравилась недавняя книга Фреге, но он только что заметил одну маленькую странность: одну из основных аксиом, на которых Фреге основную, казалось, что все его усилия влечет за собой противоречие.

Фреге принял то, что он назвал «Основным законом V», который, по сути, говорит: множества — это наборы вещей, которые имеют общую собственность.

Например, множество всех треугольников состоит из всех и только треугольников.

Это казалось достаточно очевидным, чтобы Фреге мог воспринимать как самоочевидную логическую истину.

Но из Основного закона V Рассел показал, что система Фреге может доказать утверждение вида P и не-p в качестве теоремы.

Он называется парадоксом Рассела: пусть R будет совокупностью всего, свойством «не быть самостоятельным».

(Например, набор треугольников сам по себе не является треугольником, поэтому он R.) а сам Р?

Если R находится в R, то это не то, по определению R, если R не в R, то это, опять же по определению.

Должно быть то одно или другое – так оно и есть: r в R, а R не в R, не самочленное и не противоречие.

Вся система на самом деле была несовместимой, и, таким образом, по мнению Фреге и Рассела, абсурдной.

ерунда.

В нескольких коротких строках жизненная работа Фреге оказалась неудачной.

Он будет продолжать работать еще два десятилетия, но его грандиозный проект был разрушен.

Расселл также провел следующие десятилетия, пытаясь смириться со своим простым открытием, впервые написав монументальную, но ошибочную Mathematica Principia (три тома, 1910-1913) с Альфредом Норт Уайтхед, а затем, в конце концов, уклонился от логики, так и не решая проблему.

Пройдут годы, и некоторые из лучших умов в мире будут изо всех сил пытаться преодолеть противоречие, которое обнаружил Рассел, не находя полностью удовлетворительного решения.

К 1931 году молодой логик Курт Гёдель использовал подобный парадокс из собственной системы Рассела.

Гёдель нашел утверждение, что, если доказуемо истинное или ложное, то есть разрешимое, было бы противоречиво.

Теоремы о неполноте Гёделя показывают, что не может быть полной, последовательной и вычислительной теории мира — или даже просто чисел!

Любая полная и вычислимая теория будет несовместимой.

Таким образом, рационалистический проект «Рационалистический период» от Лейбница до программы Гильберта оказался невозможным.

Или так идет стандартная история.

Но урок, который мы должны отказаться от полного понимания мира, в котором мы живем, — это огромная пилюля, которую нужно проглотить.

С момента этих событий прошло почти столетие или более, наполненные новыми и новыми достижениями в логике, и некоторые философы и логики считают, что пришло время для переоценки.

Если бы мир был идеальным местом, нам бы не нужна была логика.

Логика говорит нам, что следует из вещей, которые мы уже верим, вещей, которым мы уже привержены.

Логика помогает нам обойти наши ошибочные и конечные ограничения.

В совершенном мире бесконечные последствия наших убеждений будут лежащими перед нами.

«Бог не нуждается ни в каких аргументах, даже хороших, — сказал логик Роберт Мейер в 1976 году: все истины очевидны перед Богом, и ему не нужно выводить одно из другого.

Но мы не боги, и наш мир не идеален.

Нам нужна логика, потому что мы можем пойти не так, потому что все идет не так, и нам нужно руководство.

Логика наиболее важна для осмысления мира, когда мир кажется бессмысленным.

Только что рассказанная история заканчивается неудачей отчасти потому, что логика, которую использовали Фреге, Рассел и Гильберт, была классической логикой.

Фреге предполагал что-то очевидное и получил противоречие, но классическая логика не допускает противоречий.

Из-за классического правила ex противоречие quodlibet («от противоречия все следует»), любое противоречие делает всю систему бесполезной.

Но логика — это теория достоверности: попытка объяснить, какие выводы действительно следуют из данных положений.

Как отмечают современные «антиэксзиационисты по логике», теории логики подобны всему остальном в науке и философии.

Они разрабатываются и обсуждаются людьми, и все время были разногласия по поводу того, что такое правильная теория логики.

В ходе этих продолжающихся дебатов многие предположили, что одно противоречие, ведущее к произвольной чепухе, кажется неверным.

Возможно, тогда само правило ex противоречия неверно и не должно быть частью нашей теории логики.

Если да, то, возможно, Фреге все-таки не подвела.

За последние десятилетия логики разработали математически строгие системы, которые могут справиться с несоответствием, не искореня или «разрешяя» ее, а принимая.

Параконистентная логика создает новые возможности для теорий, которые, с одной стороны, кажутся почти неотчуждаемо истинными (как и Основной закон Фреге v), но, с другой, известно, что они содержат некоторые несоответствия, такие как тупые утверждения формы Р и не-П.

В классической логике есть трудный выбор: отказаться от любой противоречивой теории как иррациональной, а то и в том, что она переходит в явный мистицизм.

С этими новыми достижениями формальной логики может существовать средний путь, в котором иногда можно сохранить несоответствие не какую-то загадку, а скорее как каменно-холодный рациональный взгляд на наш противоречивый мир.

Это рационализм, который рационально приспосабливается к некоторым кажущимся параконсистентным логикам иррациональности, наиболее известной продвигали Ньютон да Коста с 1960-х годов и Грэм Прист с 1970-х годов.

Хотя изначально (и до сих пор) с некоторым скептицизмом рассматриваются, «параконсистентная логика» теперь имеет официальный код классификации математики (03b53, по данным Американского математического общества) и с 1997 года состоялось пять встреч Всемирного конгресса параконсибилизации.

Эти логики теперь изучаются исследователями по всему миру и выдерживают перспективу достижения невозможного: переделывая саму законы логики, чтобы осмыслить нашу иногда кажущуюся бессмысленной ситуации.

Если это сработает, то может построить новый тип проекта Просвещения, рационализм, который рационально вмещает некоторую кажущуюся иррациональность.

При таком подходе истина обязана рациональности, но рациональность также в конечном счете обязана истине.

Это может показаться немного запутанным, так что давайте начнем с очень обычного примера.

Предположим, вы ждете друга.

Сказали, что встретятся с вами около 17:00.

Сейчас 5:07.

Ваш друг опаздывает.

Но опять же, это все еще всего через несколько минут после 17:00, так что на самом деле ваш друг еще не опоздал.

Стоит ли им звонить?

Это слишком рано, но, может быть, это не слишком рано… потому что ваш друг опаздывает и не опаздывает.

(То, что они не являются, не поздно и не поздно, потому что вы явно стоите там, а они явно не приехали.) Что бы вы ни думали об этом, параконистентная логика просто советует, что на данный момент вы не должны, хотя и предварительно делать вывод, что луна сделана из зеленого сыра, или 2+2=5, или что, возможно, инопланетяне все-таки строили пирамиды.

Это было бы просто плохой аргументацией.

Таких ситуаций настолько распространены, что, возможно, кажется неправдоподобным, что для объяснения происходящего необходима какая-то причудливая система неклассической логики.

Но, может быть, мы настолько запутаны противоречиями в нашей повседневной жизни, так постоянно тянулись в нескольких противоречивых направлениях, что даже не замечаем, за исключением случаев, когда противоречие становится настолько настойчивым, что его нельзя игнорировать.

Параконистентная логика помогает нам найти структуру в шуме.

Самое поразительное, что возникло подполя в параконсистентной логике, которое фокусируется на своих приложениях к математике.

Одна из идей здесь заключалась бы в том, чтобы вернуться к великой системе Фреге в его Grundgesetze и переделать ее в параконистентную логику.

Классические подходы требуют поиска способа, чтобы парадокс Рассела больше не был выведенным (как это было пытались сделать многие).

С другой стороны, параконистентный подход позволит пройти парадоксу так, чтобы он не наносил (слишком много) урона.

Ричард Сильван, один из первых провидцев в области непоследовательной математики, предложил в конце 1970-х теорию аксиоматических множеств, которая «соответствует парадоксам».

В последние годы в этом направлении было несколько хороших, хотя и неубедительных шагов.

Идея состоит в том, что таким образом основы математики могут быть отложены на пути к тому, чтобы найти непоколебимую (если парадоксальную) уверенность в ее нижней части.

Непосредственная озабоченность по поводу парасогласованного подхода заключается в том, что он выглядит как своего рода мошенничество.

Кажется, что он обходит тяжелую работу философского теоретизирования или построения научной теории.

Беспокойство, сформулированное недавно философом науки Аланом Масгрейвом в «Против параконсистентизма» (2020), можно сказать, что можно правдоподобно утверждать, что рост человеческого знания был и обусловлен противоречиями.

Точнее, что оно было и движимо желанием устранить противоречия в различных системах веры.

Если параконистентная логика позволит нам спокойно отдыхать с противоречивой теорией, то не будет никакого стимула для улучшения.

Другой способ возразить — это то, что параконсистентность, по-видимому, предлагает легкий выход из сложных проблем, способ отбросить любые возражения или контрдоказательства, сохранить ошибочные или неудачные теории еще долго после того, как они были дискредитированы.

Опровергают ли археологические данные древние чужеродные теории?

Не беспокойтесь!

Это просто противоречие, никакой угрозы для теории.

Рациональные дебаты кажутся заглушенными, если не уничтожены.

Это методологическое возражение указывает на некоторые предположения, которые действуют ниже поверхности в наших научных и философских теориях, начиная с эпохи Просвещения и ранее.

Часто существует две или более конкурирующих теорий, объясняющих некоторые данные.

Как мы решаем, что принять?

Стандартный отчет Томаса Куна в 1977 году заключается в том, что мы взвешиваем различные теоретические достоинства: последовательность, да, но также и объяснительная глубина, согласующаяся с свидетельствами, элегантностью, простотой и т.

д.

В идеале у нас может быть все это, но такие критерии, как простота, будут отложены, если она перевешивает, скажем, предсказательную силу.

И так же для последовательности, говорят параконсистентные логики, такие как Прист и Сильван.

Классическая логика требует, чтобы проходило слишком много доказательств, когда они не должны ни одна из теоретических добродетели добродетельна только в той мере, в какой они соответствуют миру.

Например, при прочих равных, более простая теория лучше, чем более сложная.

Но «все остальное» редко бывает равно, и, как отмечают люди от Аристотеля до Дэвида Хьюма, более простая теория лучше только в той мере, в какой сам мир прост.

Если нет, то нет.

Так же и с консистенцией.

Тогда достоинство любой данной теории будет делом ее соответствия с миром.

Но если сам мир несовместим, то постоянство вовсе не является добродетелью.

Если мир несовместим — если в нижней части логики есть противоречие или на дне миски с крупой — последовательная теория гарантированно что-то упустит.

Что же значит срочный прогресс в тех случаях, когда мы можем решить, что противоречивая теория допустима?

Есть много способов, которыми одна теория может быть лучше другой.

Во многих случаях последовательность все равно выиграет (например, ваш друг не прибывает как в 5:12, так и в 5:20), и ваша лучшая теория ожидающего друга не должна говорить, что это так.

Но этот выбор теории больше связан с фактами о людях и времени, чем с логической последовательностью.

Использование несоответствия как универсального, как классическая логика, выглядит для парасогласного логика — как слишком тупая избегание реальной тяжелой работы: продумывать вещи на индивидуальной основе.

«Как же тогда нам определить, приемлемо ли данное противоречие в данном контексте?» Прист и Сильван спросили в 1983 году.

Существует простое решение: «Предварительный ответ заключается в том, что на данном этапе нам нужно рассмотреть каждый вид дела по существу».

Более наземный ответ на методологические опасения Масгрейва и предупреждение для всех, кого соблазняют параконсистентность как своего рода свободный пропуск, заключается в том, что работа в рамках параконсистентной логики усложняет ситуацию, а не меньше.

Параконистентная идея состоит в том, что классическая логика делает слишком много аргументов действительными, слишком много доказательств проходят, когда они не должны, и поэтому эти обоснования и доказательства удаляются из логической машины.

Это значительно усложняет выводы в параконсистентной структуре, потому что доступно меньше логических путей.

Тот, кто пытается создать парасогласную теорию древних инопланетян, может обнаружить, что построение веских аргументов в их новой «более всеопускающей» системе слишком сложно, чтобы стоить усилий.

и это указывает на некоторые серьезные практические проблемы для параконсистентности, возникшие с момента ее предложения.

Возможно, Фреге больше не нужно беспокоиться о том, что противоречие Рассела приведет к 0=1 в его теории.

Но Фреге также хочет, чтобы его теория доказала, что 1+1=2 и поддерживали другую элементарную арифметику.

Параконистентный фрегат может и не зря беспокоиться, что эти истинные результаты также не могут быть выведены.

В зависимости от ваших взглядов на роль логики в математике эта проблема, которую иногда называют «классическим воспоминанием», представляет собой серьезную проблему.

Сильван выдвинул идею «реабилитации» математики с использованием параконсистентности — пытаясь восстановить установленные истины, а не в том, как можно реабилитировать поврежденную экосистему.

На сегодняшний день большая часть проекта Сильвана остается невыполненной.

Работа над этой проблемой была одной из самых активных и сложных областей параконсистентных исследований.

Как бы выглядел реабилитированный рационалистический проект?

Гёдель доказал, что не может быть теории, которая отвечает на каждый вопрос последовательно и вычислимым образом.

Преобладающая мудрость заключается в том, что нам нужно будет обойтись теориями, которые либо неполны, либо неисчислимы (что выходит почти на то же, что и неполнота, поскольку, даже если есть ответ, у нас нет эффективного способа достичь этого).

Параконистентным путем было бы искать систему с точными и эффективными правилами, которая в конце концов отвечает на все вопросы — полное описание мира (или, по крайней мере, математическое) — где система иногда «над» — отвечает на вопрос, говоря и «да», и «нет».

Потому что иногда ответ — и «да», и «нет».

Глубокая тревога по поводу параконсистенции, помимо методологических вопросов научного прогресса или практических проблем с разработкой доказательств, заключается в том, что философски означает принятие мировоззрения, которое включает в себя некоторую ложность (где «ложь» означает истинное отрицание).

Как ложная теория может быть приемлемой?

А если это так, то, как только консистенция больше не неприкосновенна, есть ли еще твердая почва?

Если ложь возможна, то, может быть, все возможно, и не в хорошем смысле.

Возможно, именно это то, что жестикулирует Масгрейв, когда говорит, что «непоследовательная теория ничего не дает объяснения».

Если это правильно, любой восстановленный параконсистентный проект Просвещения будет пирровой победой или еще хуже.

Следует признать, что объяснения, которые дает противоречивая теория, могут не выглядеть так, как ожидали традиционные философы.

Но ожидания традиционных философов не сбылись, действительно, Гёдель дал нам математическое доказательство того, что они никогда не сбудутся.

А пока, прямо перед нами есть и другие ценные объяснения.

Как выразился Шредингер: «Задача состоит не столько в том, чтобы увидеть то, что никто еще не видел, сколько думать о том, что никто еще не подумал, о том, что все видят».

Что, если Витгенштейн нашел то, что искал, и просто не узнал этого?

В 1921 году был опубликован юный Людвиг Витгенштейн «Лигокофильский логико-философик» после квалифицированного достижения Рассела с Принципами, но заранее ограничивающих теорем Гёделя.

Витгенштейн в книге «Вперед» заявляет, что решил все проблемы философии.

Он подходит к этому выводу через неустанную последовательность пронумерованных предложений, которая, по-видимому, излагает природу логики, то, что она может достичь, и, что особенно важно, то, что она не может.

К концу его марш прибывает как бы на береговую линию, где мы можем смотреть на просторы океана, хотя логика не приведет нас дальше.

По словам Витгенштейна, пределы логики означают, что то, что действительно важно в жизни, можно показать, но не сказать.

Он пишет: «Решение загадки жизни в пространстве и времени лежит вне пространства и времени».

Но затем он добавляет: «Загадки не существует».

Итак, Витгенштейн вынужден сделать вывод, что все его разговоры о показе и высказываниях и загадках сами по себе были незаконными.

Да, «есть, действительно, вещи, которые нельзя выразить словами… они есть то, что мистически», — но мистическое само логически невозможно, бессмысленное противоречие.

Витгенштейн должен признать, что вся его прекрасная книга была, благодаря его собственным светам, ерунде, и проблемы философии не столько решены, сколько проходят в тишине.

Витгенштейн, как и многие, искал архимедову точку, место «за пределами» мира.

Это будет вид подвида aeternitatis (заимствование фразы из Spinoza).

Только оттуда, подумал он, мир можно было бы объяснить.

Стремясь даже сформулировать это, чтобы нарисовать пределы того, что мы можем понять, Витгенштейн противоречит сам себе, и неизбежно.

Он находит противоречие, как это сделали Фреге, Рассел и Гёдель, когда они пытались создать полную теорию.

Витгенштейн воспринял это как своего рода провал.

Но что, если бы он нашел то, что искал, и просто не осознавал этого?

Возможно, Виттгенштейн, как и многие другие, чувствовал, что вынуждены сделать ложный выбор между мистицизмом, который дает некоторый всеохватывающий, но невнятный смысл мира, и рациональную теорию, которая строга и точна, но должна быть вечно неполной, неадекватной.

Это ложный выбор, если может быть теория мира, которая делает и то, и другое.

В параконсистентности сегодня нет такой теории, но она выдерживает (не)возможность одного из них когда-нибудь.

Недавно он был применен к религиозным мировоззрениям (к буддизму священника, к христианству Дж.

К.

Белла).

Может быть, следует извлечь урок, что философская архимедова точка в конце проекта Просвещения должна быть как в мире, так и не в мире.

«Согласие, которое противоречит само по себе, — писал позднее Витгенштейн, — стояли как памятник (с головой Януса) над логикой.

Если мы живем в несогласованном мире, в мире с противоречиями от основ математики до тривиальности обеденных встреч, то его логика оставит место для ложности, сомнений и разногласий.

Это то, что многие философы вне аналитических и логических традиций уже давно настоятельно.

Как писал Симона де Бовуар: «Давайте попробуем предположить нашу фундаментальную двусмысленность… не предлагается Богу этики».

Богу не нужна логика, даже параконсистентная.

Но, может быть, мы и делаем.