Некоторые философы думают, что математика существует в таинственном другом королевстве. Они неправы. Оглянись вокруг: ты это видишь

О чем математика? Мы знаем, что такое биология, речь идет о живых существах. Точнее, живые аспекты живых существ — движение кошки, выброшенное из окна, — дело для физики, но его физиология — тема для биологии. Океанография — это океаны, социология — о человеческом поведении в долгосрочной перспективе и так далее.

Когда все науки и их предметы изложены, остается ли какой-либо аспект реальности для математики? Это основной вопрос философии математики. Люди заботятся о философии математики так, как их не волнуют, скажем, философия бухгалтерии. Возможно, причина в том, что достоверность и объективность математики, ее раз и навсегда становление твердых истин, ставших камень, ставит вызов многим общим философским позициям.

Не только крайние скептически настроенные взгляды, как постмодернизм, имеют с этим проблемы. Так же как и все эмпирические и натуралистические взгляды, которые надеются на полностью «научное» объяснение реальности и наших знаний о ней. Проблема не столько в том, что математика истинна, сколько в том, что ее истины абсолютно необходимы, и что человеческий разум может установить эти потребности и понять, почему они должны быть таковыми.

Очень трудно объяснить, как физический мозг мог бы это сделать. Один известный философ, находящийся в математической необходимости до неудобства, — Питер Сингер. В одной из своих самых продаваемых книг по этике он утверждает, что мы не можем полагаться на интуитивно понятие этических истин, поскольку самый убедительный случай интуиции в математике неверен.

«Самопроверность основных истин математики, — говорит он, — можно объяснить… рассматривая математику как систему тавтологий… истину в силу значений используемых терминов». Сингер ошибается, утверждая, что эта философия математики, называемая логизмом, «широко, если не повсеместно принята».

Он не был принят ни одним серьезным философом математики в течение 100 лет.

Но ясно, почему любой, кто, как и Сингер, хочет объяснить странную силу человеческой интуиции, может хотеть, чтобы истинная философия математики была правдой.

На вопрос: «Математика о чем-то?» Есть два ответа: «Да» и «Нет».

Оба глубоко неудовлетворительны.

Ответ «нет», чьи поборники известны как номиналисты, говорит, что математика — это просто язык.

С этой точки зрения это просто способ говорить о других вещах, или набор логических мелочей (как утверждает певец), или формальное манипуляцию символами в соответствии с правилами.

Как бы вы его ни обрезали, это ни о чем.

Те, чья встреча с математикой в школе была менее чем счастливой («минус раз минус равнялись плюс/причина этого нам не нужно обсуждать»), могут испытывать некоторую симпатию к числительнице.

С другой стороны, это также точка зрения, которая привлекает физиков и инженеров, которые рассматривают серьезные предложения о реальности как свой бизнес.

Они смотрят на таблицы преобразований Лапласа и других таких математических атрибутов, как, по словам немецкого философа Карла Хемпеля, «Теоретические соки»: полезные для получения дополнительного смысла из мясистых физических предложений, но не довольны сами по себе.

Номинализм может иметь определенную приземленную привлекательность, но дальнейшее размышление предполагает, что он не может быть правильным.

Хотя манипуляция символами полезна в качестве метода, у нас также есть сильное ощущение, что математика делает объективные открытия о местности, которая в некотором смысле находится «там».

Возьмем тонкости распределения простых чисел.

Некоторые цифры просты, некоторые нет.

В картонные коробки 6 × 3 × 4 можно положить дюжину яиц, но яйца не продаются партиями по 11 или 13, так как нет аккуратного способа размножения 11 или 13 из них в яичную коробку: 11 и 13, в отличие от 12, являются простыми, а чисел не могут быть образованы путем умножения двух меньших чисел.

Идея очень легко понять.

Но это не значит, что в этом ничего не известно.

Оказывается, то, как распределяются простые числа между числами, включает в себя сложное взаимодействие паттерна и нерегулярности.

В малых масштабах последнее наиболее очевидно: длинные тянутся вообще без чисел — на самом деле длинные тянущиеся.

В то же время широко распространено мнение, что существует бесконечно много «первичных пар», то есть пары чисел, которые являются простыми, оба, как простые, такие как 41 и 43.

Когда мы обращаемся к большому масштабу, впечатление от беспорядка угасает, и в конце концов начинает появляться паттерн.

Праймы постепенно становятся менее плотными по мере того, как подсчитывается: плотность чисел вокруг большого числа обратно пропорциональна его порядку.

Плотность чисел около триллиона (1012 г.), например, составляет примерно половину того, что составляет около миллиона (106).

Более точная информация о тонкостях распределения простых чисел содержится в гипотезе Римана, которая в настоящее время является самой известной недоказанной гипотезой математики.

Кажется, что чистая математика раскрывает топографию региона, истины которого предшествовали истины, даже языка это типично для результатов чистой математики, таких как делимость чисел на 9, если сумма их цифр делится на 9, вплоть до высших пределов абстрактной алгебры.

Невозможно избежать вывода, что чистая математика открывает нам топографию региона, истины которого предшествовали нашим исследованиям и даже нашему языку.

Вдохновленный этой мыслью, платонизм предлагает философию математики, противоположную номинализму.

В нем говорится, что математика — это область нефизических объектов, таких как числа и множества, абстрактные, которые существуют в таинственном царстве форм за пределами пространства и времени.

Если это звучит надуманно, обратите внимание, что чистые математики, безусловно, говорят и часто так думают о своем предмете.

Платонизм также хорошо согласуется с кажущимся успехом математического доказательства, который, кажется, демонстрирует, как все должно быть во всех возможных мирах, независимо от того, какими могут быть законы природы в любом конкретном мире.

Доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом, не зависит от каких-либо установленных наблюдательно.

Он показывает, как все должно быть, предполагая, что квадратный корень 2 — это сущность, выходящая за рамки нашего изменяемого мира пространства и времени.

Тем не менее, несмотря на его четкие линии и долгую историю, платонизм тоже не может быть прав.

Со времен самого Платона номиналисты призывают очень убедительные возражения.

Вот один: если абстракция плавает где-то за пределами нашей собственной вселенной пространства и времени, трудно представить, как мы можем их увидеть или иметь с ними какой-либо другой перцептивный контакт.

Так откуда мы знаем, что они там?

Некоторые современные платонисты утверждают, что мы делаем выводы, так же, как мы выводим наружу существование атомов, чтобы объяснить результаты химических экспериментов.

Но, похоже, мы знаем не то, что мы знаем о числах.

Пятилетние дети, обучающиеся считать, не выполняют изощренные выводы об абстракциях; их контакт с числовым аспектом реальности более прям и прям.

Даже животные могут считаться до определенного момента.

Во всяком случае, проблема с платонизмом заключается не столько в знании, сколько в его взгляде на математические сущности.

Конечно, когда мы измеряем или вычисляем или моделируем погоду математически, мы имеем дело с математическими свойствами реальных вещей в этом мире, таких как их величины.

Такие свойства не абстрактны: как и цвета, они обладают каузальными силами, которые приводят к тому, что мы их видим.

Визуальная система легко обнаруживает такие свойства, как отношение вашей высоты к моей (если мы стоим рядом друг с другом).

В других мирах нет места для абстракции, чтобы войти в историю, даже если они существовали.

Номиналисты и платоники сражались друг с другом, каждый из которых убедительно раскрывал фатальные недостатки во взглядах своих противников, каждый из которых не мог установить свою позицию.

Начнем заново.

Представьте себе Землю до того, как появились люди, которые думали о математике и пишут формулы.

Были динозавры большие и маленькие, деревья, вулканы, текущие реки и ветры… Были ли в этом мире какие-либо свойства математического характера (чтобы говорить как можно более уничижительно)?

То есть были ли среди свойств реальных вещей в этом мире (не в каком-то абстрактном мире), некоторые из которых мы должны были бы признать математическими?

Таких свойств было много.

Симметрия, например.

Как и у большинства животных, у динозавров была приблизительная двусторонняя симметрия.

Деревья и вулканы имели приблизительную круговую симметрию со случайными элементами — вид сверху, они выглядят одинаково, когда вращаются вокруг своей оси.

То же самое касается и яиц.

Но симметрия, точная или приближенная, является свойством, которое не является физиологическим.

не - Физические вещи могут иметь симметрию, например, симметрии, если последняя половина повторяет первую половину в противоположном порядке.

Симметрия — это бесспорно математическая собственность, и основная отрасль чистой математики — теория групп — посвящена классификации ее видов.

Когда симметрия реализуется в физических вещах, она часто очень очевидна для восприятия; если у вас асимметричное лицо, не заходите в политику, потому что она производит немедленное впечатление на телевидение.

Симметрия, как и другие математические свойства, может обладать каузальными силами, в отличие от абстрактных, как это задумано платониками.

Другое математическое свойство, которое, как и симметрия, возможно во многих видах физических вещей, — это соотношение.

Высота большого динозавра стоит в определенном соотношении к высоте маленького динозавра.

Соотношение их объемов другое – на самом деле соотношение их объемов намного больше, чем соотношение их высоты, что делает больших динозавров неуклюжим, а маленькие бодрыми.

Данное отношение может быть отношением двух высот, двух томов или двух временных интервалов; отношение — это то, что разделяют эти отношения между различными видами физических сущностей, и, таким образом, более математическое свойство, чем физические длины, объемы и т.д.

Соотношение — это то, что мы измеряем, когда определяем, как длина (или объем, или время и т.

д.) соотносится с произвольно выбранной единицей.

Это один из основных видов числа.

Как выразился Исаак Ньютон на своем уникальном языке: «По числу мы понимаем не столько множества единств, сколько абстрактное соотношение любого количества, которое мы принимаем за единство».

Любое отступление в прикладную математику, редко проводимые философами математики, которые предпочитают знакомые основания чисел и логики, появятся, для бдительного наблюдателя, многие другие количественные и структурные свойства, которые сами по себе не являются физическими, но могут быть реализованы в физическом мире (и любых других мирах, где могут быть): потоки, отношения, преемственность и дискретность, чередование, линейность, топология сети и многие другие.

Существует название философии математики, которая подчеркивает, как математические свойства возникают в реальном мире.

Это называется аристотелевский реализм.

Он основан на взгляде Аристотеля, а не в отношении его учителя Платона, что свойства вещей реальны и в самих вещах, а не в другом мире абстрактного.

Его версия, утверждавшая, что математика была «наукой о количестве», на самом деле была ведущей философией математики до времен Ньютона, но с тех пор эта идея была в значительной степени не в повестке дня.

Младенцы и животные демонстративно обладают способностью распознавать паттерн и оценку числа, формы и симметрии, потому что аристотелевский реализм настаивает на реализации математических свойств в мире, он может дать прямое представление о том, как известны основные математические факты: по восприятию, как и другие простые факты.

Видны соотношения высоты (в некоторой степени приближения, конечно).

Младенцы и животные демонстративно обладают способностью распознавать паттерн и оценивать количество, форму и симметрию.

Наши развитые человеческие интеллектуальные способности добавляют две вещи к этим простым восприятиям.

Первая — это визуализация, которая позволяет нам понимать необходимые отношения между математическими фактами.

Попробуйте это простое умственное упражнение: представьте себе шесть крестов, расположенных в два ряда по три креста каждый, один ряд прямо над другим.

Я могу также представить себе те же шесть крестов, что и три колонки по два.

Поэтому 2 × 3 = 3 × 2.

Я не только замечаю, что 2 × 3 на самом деле равняется 3 × 2, я понимаю, почему 2 × 3 должны равняться 3 × 2.

Так что платонисты были правы, обращая внимание на способность человеческого разума уловить математические потребности, они просто не замечали, что эти потребности часто реализуются в этом мире.

Вторая интеллектуальная способность, с помощью которой человеческий разум расширяет результаты восприятия, является доказательством.

Математические доказательства объединяют ряд инсайтов, по отдельности, похожих на «2 × 3 = 3 × 2», чтобы продемонстрировать необходимость, которую невозможно понять с первого взгляда, например, как плотность простых чисел падает для больших чисел.

Аристотелевский реализм находится в сложных отношениях с натурализмом, проектом показа, что весь мир и человеческие знания можно объяснить с точки зрения физики, биологии и неврологии.

Если математические свойства реализуются в физическом мире и способны восприниматься, то математика может показаться не более необъяснимой, чем цветовое восприятие, что, безусловно, можно объяснить в натуралистических терминах.

С другой стороны, аристотелевы согласны с платониками в том, что математическое понимание предметов первой необходимости загадочно.

Что необходимо, верно во всех возможных мирах, но как восприятие может видеть в других возможных мирах?

Схоласты, аристотелевские католические философы Средневековья, были настолько впечатлены пониманием необходимыми истинами, что выводы, что интеллект был нематериальным и бессмертным.

Если современные натуралисты не хотят с этим соглашаться, для них есть вызов.

«Не говори мне, покажи мне»: создайте систему искусственного интеллекта, которая имитирует подлинную математическую проницательность.

На чертежной доске, кажется, нет перспективных планов.

Стандартные альтернативы в философии математики не смогли объяснить простейшие факты о том, как математика говорит нам о мире, в котором мы живем, — номинализме, сводя математику к мелочам, и платонизму, разводя его с миром, реальный мир которого математические истины составляют необходимый скелет.

Аристотельский реализм — это новое начало.

Он связывает философию математики с приложениями, которые всегда были плодородной почвой, из которой вырастает математика.

В нем есть послание как для философии, так и для математики и ее преподавания: не ослепляйтесь перетасовкой символов, не исчезайте в царстве абстракций, просто следите за математической структурой реального мира.